例1 b比a增加了20%，則b是a的多少？ a又是b的多少呢？
解析：可根據方程的思想列式得 a×（1＋20%）＝b，所以b是a的1.2倍。
A/b＝1/1.2＝5/6，所以a 是b的5/6。
例2 養魚塘里養了一批魚，第一次捕上來200尾，做好標記后放回魚塘，數日后再捕上100尾，發現有標記的魚為5尾，問魚塘里大約有多少尾魚?
A．200 B．4000 C．5000 D．6000 （2004年中央B類真題）
解析：方程法：可設魚塘有X尾魚，則可列方程，100/5＝X/200，解得X=4000，選擇B。
例3 2001年，某公司所銷售的計算機臺數比上一年度上升了20%，而每臺的價格比上一年度下降了20%。如果2001年該公司的計算機銷售額為3000萬元，那么2000年的計算機銷售額大約是多少?
A．2900萬元 B．3000萬元 C．3100萬元 D．3300萬元（2003年中央A類真題）
解析：方程法：可設2000年時，銷售的計算機臺數為X，每臺的價格為Y，顯然由題意可知，2001年的計算機的銷售額=X（1+20%）Y（1-20%），也即3000萬=0.96XY，顯然XY≈3100。答案為C。
特殊方法：對一商品價格而言，如果上漲X后又下降X，求此時的商品價格原價的多少？或者下降X再上漲X，求此時的商品價格原價的多少？只要上漲和下降的百分比相同，我們就可運用簡化公式，1－X 。但如果上漲或下降的百分比不相同時則不可運用簡化公式，需要一步一步來。對于此題而言，計算機臺數比上一年度上升了20％，每臺的價格比上一年度下降了20％，因為銷售額＝銷售臺數×每臺銷售價格，所以根據乘法的交換律我們可以看作是銷售額上漲了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1－（20%） ＝0.96，2001年的銷售額為3000萬，則2000年銷售額為3000÷0.96≈3100。
例4 生產出來的一批襯衫中大號和小號各占一半。其中25%是白色的，75%是藍色的。如果這批襯衫總共有100件，其中大號白色襯衫有10件，問小號藍色襯衫有多少件?
A．15 B．25 C．35 D．40 （2003年中央A類真題）
解析：這是一道涉及容斥關系（本書后面會有專題講解）的比例問題。
根據已知 大號白=10件，因為大號共50件，所以，大號藍=40件；
大號藍=40件，因為藍色共75件，所以，小號藍=35件；
此題可以用另一思路進行解析（多進行這樣的思維訓練，有助于提升解題能力）
大號白=10件，因為白色共25件，所以，小號白=15件；
小號白=15件，因為小號共50件，所以，小號藍=35件；
所以，答案為C。
例5 某企業發獎金是根據利潤提成的，利潤低于或等于10萬元時可提成10%；低于或等于20萬元時，高于10萬元的部分按7.5%提成；高于20萬元時，高于20萬元的部分按5%提成。當利潤為40萬元時，應發放獎金多少萬元?
A．2 B．2.75 C．3 D．4.5 （2003年中央A類真題）
解析：這是一個種需要讀懂內容的題型。根據要求進行列式即可。
獎金應為 10×10%+（20-10）×7.5%+（40-20）×5%=2.75
所以，答案為B。
例5 某校在原有基礎（學生700人，教師300人）上擴大規模，現新增加教師75人。為使學生和教師比例低于2：1，問學生人數最多能增加百分之幾?
A．7% B．8% C．10.3% D．115% （2003年中央A類真題）
解析：根據題意，新增加教師75人，則學生最多可達到（300+75）×2=750人，學生人數增加的比列則為 （750-700）÷700≈7.1%
所以，選擇A。
例6 某企業去年的銷售收入為1000萬元，成本分生產成本500萬元和廣告費200萬元兩個部分。若年利潤必須按P％納稅，年廣告費超出年銷售收入2％的部分也必須按P%納稅，其它不納稅，且已知該企業去年共納稅120萬元，則稅率P％為
A．40％ B．25％ C．12％ D．10％ （2004年江蘇真題）
解析：選用方程法。根據題意列式如下：
（1000-500-200）×P％+（200-1000×2%）×P％=120
即 480×P％=120
P％=25%
所以，答案為B。
例7 甲、乙兩盒共有棋子108顆，先從甲盒中取出 放人乙盒，再從乙盒取出 放回甲盒，這時兩盒的棋子數相等，問甲盒原有棋子多少顆?
A．40顆 B．48顆
C．52顆 D．60顆 （2004年浙江真題）
『答案』 B
『解析』 此題可用方程法，設甲盒有X顆，乙盒有Y顆，則列方程組如下，參見輔助資料。此題運用直接代入法或逆推法更快捷。
例 8 甲乙兩名工人8小時共加736個零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，問乙每小時加工多少個零件?
A．30個 B．35個 C．40個 D．45個 （2002年A類真題）
解析：選用方程法。設乙每小時加工X個零件，則甲每小時加工1.3X個零件，并可列方程如下：
（1+1.3X）×8=736
X=40
所以，選擇C。
例 9 已知甲的12%為13，乙的13%為14，丙的14%為15，丁的15%為16，則甲、乙、丙、丁4個數中最大的數是：
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 （2001年中央真題）
解析：顯然甲=13/12%；乙=14/13%；丙=15/14%；丁=16/15%，顯然最大與最小就在甲、乙之間，所以比較甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%＞1，
所以，甲＞乙＞丙＞丁，選擇A。
例 10 某單位召開一次會議，會期10天。后來由于議程增加，會期延長3天，費用超過了預算，僅食宿費一項就超過預算20%，用了6000元。已知食宿費用預算占總預算的25%，那么，總預算費用是：
A．18000元 B．20000元 C．25000元 D．30000元 （2001年中央真題）
解析：設總預算為X，則可列議程為，
25%X=6000÷（1+20%），解得X=20000
所以，答案為B。
例 11 一種收錄機，連續兩次降價10%后的售價是405元，那么原價是：
A．490元 B．500元 C．520元 D．560元 （2001年中央真題）
解析：連續漲（降）價相同幅度的基本公式如下：
a =c a表示漲（降）價前的價格；b表示漲（降）價的百分比；c表示漲（降）價后的價格；n連續漲（降）價的年數。
如果設原價為X，那么由以上公式可列如下方程：
X =405，解得X=500
所以，答案為B。此題可以選擇代入法快速得到答案。
例 12 某企業1999年產值的20%相當于1998年產值的25%，那么，1999年的產值與1998年相比：
A．降低了5% B．提高了5% C．提高了20% D．提高了25%（2001年中央真題）
解析：此題可采用直接作比的方法。設1998年的產值為a，1999年的產值為b，則根據題意事列方程，a25%=b20%，則1999年的產值與1998年的比=b/a=25%/20%=1.25，也即1999年的產值比1998年提高了25%。
所以，答案為D。
例 13 某人用4410元買了一臺電腦，其價格是原來定價相繼折扣了10%和2%后的價格，則電腦原來定價是
A．4950元 B．4990元 C．5000元 D．5010元 （2000年中央真題）
解析，采用方程法即可，設電腦原來定價是X，則可列方程為
X×（1-10%）×（1-2%）=4410，解得X=5000。
所以，正確答案為C。
注，此題不能用例11的基本公式，因為降價幅度不同。
例 14 某機關共有干部、職工350人，其中55歲以上共有70人。現擬進行機構改革，總體規模壓縮為180人，并規定55歲以上的人裁減比例為70%。請問55歲以下的人裁減比例約是多少?
A．51% B．43% C．40% D．34% （2000年中央真題）
解析：設55歲以下的人裁減比例為X，則可列方程為：
70×（1-70%）＋（350－70）×（1-X）=180
解得X≈43%
所以，正確答案為B。
例 15 某儲戶于1999年1月1 日存人銀行60000元，年利率為2.00%，存款到期日即2000年1月1 日將存款全部取出，國家規定凡1999年11月1日后孳生的利息收入應繳納利息稅，稅率為20％，則該儲戶實際提取本金合計為
A．61 200元 B．61 160元 C．61 000元 D．60 040元
解析，如不考慮利息稅，則1999年1月1 日存款到期日即2000年1月1可得利息為60000×2%=1200，也即100元/月，但實際上從1999年11月1日后要收20%利息稅，也即只有2個月的利息收入要交稅，稅額=200×20%=40元
所以，提取總額為60000+1200-40=61160，正確答案為B。
1/1.2=5/6。再比如，一件商品的價格為a元，第一次調價時上漲了50%，第二次調價時又下降了80%，問現在的價格是調價前的多少？（30%）像這樣的反復變化的比例關系并無難點，關鍵是一定要弄清楚和誰比增加或者下降，現在是多少，以上題為例，商品的價格為a元，第一次調價時上漲了50%，則此時商品的價格為1.5a元，第二次調價時又下降了80%，則此時的價格為1.5a×（1－80%）＝0.3a元。
例1 甲、乙、丙三人買書共花費96元錢，已知丙比甲多花16元，乙比甲多花8元，則甲、乙、丙三人花的錢的比是（ ）。（2002年B類真題）
A．3：5：4 B．4：5：6 C．2：3：4 D．3：4：5
解析：我們通常采用方程法，即設甲的花費為X元，則3X+16+8＝96，則X＝24，盡而可算出比例關系為3：4：5即為選項D。這里請注意，我們在進行數學運算的答題時應盡量避免采用方程法，應將這一方程運算過程用習慣性思維替代，具體思維過程如下，用96－16－8＝72，所得到就應該是3倍甲的花費，由此得到甲的花費是24元。
例 3 2001年，某公司所銷售的計算機臺數比上一年度上升了20％，而每臺的價格比上一年度下降了20％。如果2001年該公司的計算機銷售額為3000萬元，那么2000年的計算機銷售額大約是多少 ( ) ?
A．2900萬元 B．3000萬元 C．3100萬元 D．3300萬元
解析：對一商品價格而言，如果上漲X后又下降X，求此時的商品價格原價的多少？或者下降X再上漲X，求此時的商品價格原價的多少？只要上漲和下降的百分比相同，我們就可運用簡化公式，1－X 。但如果上漲或下降的百分比不相同時則不可運用簡化公式，需要一步一步來。對于此題而言，計算機臺數比上一年度上升了20％，每臺的價格比上一年度下降了20％，因為銷售額＝銷售臺數×每臺銷售價格，所以根據乘法的交換律我們可以看作是銷售額上漲了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1－（20%） ＝0.96，2001年的銷售額為3000萬，則2000年銷售額為3000÷0.96≈3100，所以選擇C。
和、差倍問題
核心要點提示：
和、差倍問題是已知大小兩個數的和（或差）與它們的倍數關系，求大小兩個數的值。
（和+差）÷2=較大數
（和－差）÷2=較小數
較大數一差＝較小數
這一題型應作為一個基本常識掌握，以加快解題的速度。
例1：甲班和乙班共有圖書160本。甲班的圖書本數是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本?
解析：設乙班的圖書本數為l份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數的和相當于乙班圖書本數的4倍。還可以理解為4份的數量是160本，求出1份的數量也就求出了乙班的圖書本數，然后再求甲班的圖書本數。用下圖表示它們的關系：
解：乙班：160÷（3十1）＝40（本）
甲班：40×3＝120（本）
或160—40＝120（本）
答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。
例2 549是甲、乙、丙、丁4個數的和。如果甲數加上2，乙數減少2，丙數乘以2，丁數除以2以后，則4個數相等。求4個數各是多少?
解析 采用方程法，設相等的數為 ，則甲為 —2，乙為 +2，丙為 ÷2，丁為2 ，則可列方程： —2+ +2+ ÷2+2 =549， =122。
那么甲為122—2=120，乙為122+2=124，丙為122÷2=61，丁為2×122=244。
例3 河東小學畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級的，有15幅畫不是五年級的，現知道五、六年級共有25幅畫，求其它年級的畫共有多少幅?
解法1 由“其中有16幅畫不是六年級的，有15幅畫不是五年級的”可知五年級比六年級多16-15=1（幅）畫，又知“五、六年級共有25幅畫”，根據和差問題的數量關系可知五年級有（25+1）÷2=13（幅）畫，因此，其它年級的畫共有16-13=3（幅）。
依據題意做如下圖示：
16幅畫不是六年級的，即黑色部分的人數總和16人
15幅畫不是五年級的，即黑色部分的人數總和15人
黑色部分一做差即可求出五年級比六年級多1人，
解法2 設六年級有 幅畫，那么五年級有 +（16－15），則可列方程：
+（16－15）+ =25，
=12
即六年級有12幅畫，五年級有 +（16－15）=13幅畫。
例4 有50名學生參加聯歡會，第一個到會的女生同每個男生握過手，第二個到會的女生只差1個男生沒握過手，第三個到會的女生只差2個男生沒握過手，如此等等，最后一個到會的女生和7個男生握過手，那么這50名學生中有幾名男生?
解法1 從題目中已經知道參加聯歡會的男生和女生共有50名。因此，如果能知道男生人數與女生人數的差，即可按和差問題的數量關系求出男生有多少人。
為了使題目中的條件更容易分析，我們不妨將女生的順序反過來，從后往前看。也就是說：最后一個到會的女生同7個男生握過手；倒數第二個到會的女生同8個男生握過手；倒數第三個到會的女生同9個男生握過手，如此等等，第一個到會（即倒數最后一個）的女生同全部男生握過手。由此，立即可知，男生人數比女生的人數多6個人。因此，男生人數為
（50+6）÷2=28（人）
解法2 設女生人數為 人，則男生人數為（6+ ）人，則可列方程：
+6+ =50，
=22（人）
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